리펙토링: 코드 최적화

AGENTS.md

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 ### 접근성 / 키보드 조작
 
 - 문제 풀이 화면은 키보드만으로 진행할 수 있어야 한다.
-- 문제 풀이 화면은 모든 항을 하나의 공유 input group으로 입력한다.
-- input group 아래에는 각 항의 입력값 버튼을 버튼 그룹으로 표시한다. 현재 입력 중인 항은 `aria-pressed`로 표시하고, 비어 있는 항은 `?`로 표시한다.
-- 첫째 항에서 Enter를 누르면 같은 input group이 둘째 항 입력으로 전환된다.
+- 문제 풀이 화면은 모든 항을 하나의 공유 input으로 입력한다.
+- input 아래에는 각 항의 입력값 버튼을 버튼 그룹으로 표시한다. 현재 입력 중인 항은 `aria-pressed`로 표시하고, 비어 있는 항은 `?`로 표시한다.
+- 첫째 항에서 Enter를 누르면 같은 input이 둘째 항 입력으로 전환된다.
 - 둘째 항에서 Enter를 누르면 제출 동작을 실행한다. 별도 제출 버튼이 없어도 form submit 흐름이 유지되어야 한다.
-- 모바일 화면에서는 input group에 `-/+` 버튼과 `↵` 버튼을 표시한다. `sm` 이상 화면에서는 물리 키보드 사용을 전제로 이 보조 버튼들을 숨긴다.
+- 터치 기반 입력 환경에서는 input focus 시 커스텀 숫자 키패드를 표시한다. 키패드는 숫자, `+/-`, `.`, `⌫`, `↵` 버튼을 제공한다.
+- 마우스/트랙패드처럼 hover 가능한 정밀 포인터가 있는 환경은 물리 키보드 사용 환경으로 간주하고 커스텀 숫자 키패드를 숨긴다. 웹 표준 API로 물리 키보드 연결 여부 자체를 안정적으로 판별할 수 없으므로 해상도 기준으로 분기하지 않는다.
+- 입력 중에는 `-`, `1.` 같은 임시 값을 허용할 수 있지만 제출 시에는 정상적인 양의 실수 또는 음의 실수 표현만 통과시킨다.
 - 문제 풀이 화면 최초 진입 시 모바일 키보드를 강제로 열지 않는다. 사용자가 input을 직접 focus하거나 피드백 후 다음 문제로 넘어갈 때 input에 focus를 둔다.
-- 모바일 input focus 시 가상 키보드가 올라온 뒤 `span.katex` 상단이 브라우저 화면 상단에 오도록 조정한다.
+- 터치 기반 입력 환경에서 input focus 시 `span.katex` 상단이 브라우저 화면 상단에 오도록 조정한다.
 - 정답·오답 피드백이 표시되면 다음 진행 버튼에 focus를 둔다.
 - 최종 결과 화면이 표시되면 다시 시작 버튼에 focus를 둔다.
 - 아이콘이나 기호만으로 상태를 표시할 때는 `aria-label`, `sr-only` 텍스트 등으로 의미를 함께 제공한다.